12年國教課程修訂之建議：不確定性與數據處理

12年國教課程修訂之建議：不確定性與數據處理

摘要

本文主要從各國的課程綱要、國際評量、以及重要性來論述不確定性與數據課程置於國小課程的適當性，進而提供12年國教課程修訂的建議。

李源順　　

本文主要從各國課程綱要與國際評量，來論述不確定性與數據處理的數學課程問題，並提出個人見解，供大眾參考。

不確定性的意思是指事先無法準確知道某個事件或某種決策的結果。例如每包500公克裝，不一定恰好500公克，是不確定的情境。同價的一堆水果，只是品質接近，不確定是相同。擦青春痘的藥膏，有人擦了有改善，有人擦了沒改善；沒擦的有人也改善了，有人沒有。對於此藥膏效用的問題，也充滿不確定性的思維。因為事件的不確定，若我們想進一步了解它，此時不確定性的問題有和機會或機率極為相關。有關不確定性與機率的課程，美國數學教師學會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM）於2000年提出的學校數學原則與標準（Principlesand standards for school mathematics）在3-5年級有學習可能性的課程。2010年美國各州共且心課程倡議會（Common Core State Standards Initiative, CCSSI） 制定各州共同核心數學標準（Common Core StateStandards for Mathematics）在六年級也提出發展對統計變異的了解。美國加州的課程綱要提到三年級學生要能夠記錄簡單事件的重複實驗（如擲銅板）；能夠進行簡單機率實驗，並作簡單預測；辨識日常事件的機率意義：確定、有可能、不太可能、完全不可能。四年級要能將機率實驗結果整理成圖表；能報讀簡單之機率。

中國大陸2011年義務教育數學課程標準在第二學段（4-6年級）提出結合具體情境，了解簡單的隨機現象；以及透過試驗、遊戲等活動，感受隨機現象結果發生的可能性是有大小的，能對一些簡單的隨機現象發生的可能性大小作出定性描述，並能進行交流。

相對於其他國家，我國現行小學教材較缺少了解不確定性、可能性、與機率相關的內容。我國民國84年的課程標準和民國89年的九年一貫數學學習領域暫行綱要在六年都有「運用生活經驗來瞭解機會」的課程。到了民國92年和97年的九年一貫數學學習領域課程綱要，在六年級之前已沒有機會或機率相關內容。直到九年級才有機率的教材（9-d-05 能在具體情境中認識機率的概念）。

數據處理的目的是從大量、雜亂無章、難以理解的數據中，經由資料收集、處理以提取有價值、有意義的數據。

美國NCTM於2000年提出的學校數學原則與標準在3-5年級時，希望學生能形成問題，並且可以利用數據收集、整理和展現相關的數據來回答所形成的問題；能選擇和使用適當的統計方法來分析數據；能依據數據發展和評估所做的推論和預測。美國加州的課程綱要提到。四年級要能做問卷，有系統收集數據，並製作相關之圖表；能將機率實驗結果整理成圖表。

英國國家課程標準將學生的能力等級分別8種程度，期望多數學生在第二階段（6年級、11歲） 結束時能達到等級 4。等級4的學生在資料處理的主題則希望學生能蒐集離散資料並以表格紀錄其發生次數；瞭解並用眾數和範圍來描述資料集合；對適當的資料，以等組距歸類資料，並依此繪製次數圖表，解讀次數圖表；能繪製並解釋簡單的折線圖。

中國大陸2011年義務教育數學課程標準在第一學段（1-3年級）希望學生能根據給定的標準或者自己選定的標準，對事物或數據進行分類，感受分類與分類標準的關係。經歷簡單的數據收集和整理過程，了解調查、測量等收集數據的簡單方法，並能用自己的模式（文字、圖畫、表格等）呈現整理數據的結果。到了第二學段（4-6年級）能經歷簡單的收集、整理、描述和分析數據的過程。會根據實際問題設計簡單的調查表，能選擇適當的方法（如調查、試驗、測量）收集數據。

相對於美國、英國和大陸，我國民國97年的能力指標僅在一年級時，期望學生能對生活中的事件或活動做初步的分類與記錄（1-d-01），同時能將紀錄以統計表呈現並說明（1-d-02）。之後就沒有對數據進行處理的內容。

近年來我國一直參與的國際數學與科學教育成就趨勢調查（Trends for International Mathematics andScience Study，簡稱TIMSS），學生成就分析發現TIMSS 2011和TIMSS 2007八年級的數、代數、幾何表現相對好；數據與機率相對差。例如TIMSS 2007數、代數、幾何、數據與機率的成績分別是577分、617分、592分、566分；TIMSS 2011 分別是598分、628分、625分、584分。數據與機率的成績明顯比其他主題低了十幾分。

向來重要視國際評比的我們，若我國在八年級之前沒有進行機率相關概念的教學，將來我國八年級學生在這方面的成就，就有可能落後於其他國家。

在強調學生數學素養年代，不確定性思維與數據處理能力，更顯重要。國際學生能力評量計畫（the Programme for International Student Assessment，簡稱PISA）主要評量15歲學生的數學素養，其中就有關於機率的問題。例如PISA2012公布的正式試題 PM00E是問播放機故障需要修理的機率問題。PISA 2006年公布的M467是問抽到紅色糖果的機率，M509是問發生地震的機會本質問題。此外PISA的試題中也有許多有關統計方面的試題，再再強調統計的數據處理於現今社會的重要性。例如PISA2006年公布的試題M513中，就有利用同一數據從不同的觀點來解釋那A, B兩組的學生成績是A組好或者B組好的問題。M505是要生解釋為何不同廢棄物不適合製作成長條圖的問題。M179是有關統計圖容易引人誤解的解釋問題。

台灣國小、國中、高中機率與統計課程向來缺乏建立在不確定現象上，發展不確定思維的設計進路。有關機率的問題，就像在算比例的問題一樣。例如，求投擲一個公正銅板，三次都是出現正面的機率等問題。較沒有機會讓學生深入體會不確定性。例如，在生活中，較少提問投擲一個銅板，發現2次都出現正面，下一次是出現正面或是反面？或者，未來的20 年內，在Zed 這個城市發生地震的機會是三分之二。那麼未來20 年內，在Zed 這個城市發生地震的可能性比沒有發生地震的可能性大或是未來20 年內將會發生一次地震？

林福來（2012）主持的統計教育研究─人才培育與資訊整合總計畫也發現我國教學未提供學生理解資料變異性和不確定性的學習機會；例如，教師變異數教學時，關注的是標準差公式是除以N還是N-1，而非變異數的基本概念；教材少提供呈現不確定現象的情境（如：丟擲形狀不規則的骰子）。

建議我國應該：

1.         從國小開始發展不確定思維（uncertainty thinking）。

2.         機率與統計課程除了重視data和big ideas外，應考量situations面向，設計以不確定思維為本的課程內涵。

3.         參考現象與思維之確定及不確定性雙向模式。

4.         不要只強調機率的計算，也應加入機率本質的討論；不要都是出現公正的事件，也應加入非公正事件的教學。

5.         國小高年級之後應納入數據處理的教學，讓生體驗從雜亂無章的數據中，依據要解決的問題，收集有用數據，並使用適當方法加以分析，使能順利解決問題。同時也可以增加列聯表的教學與討論，例如，從下面的列聯表討論男生與女生以及是否近視人數等相關問題。

1.         中國教育部，〈義務教育數學課程標準（2011年版）〉，北京師範大學出集團，2011年。2013.09.09取自http://www.pep.com.cn/xxsx/jszx/xskcbj/。

2.         陳宜良、單維彰、洪萬生、袁媛，〈中小學數學科課程綱要評估與發展研究〉，2005年。2013.09.09取自http://libai.math.ncu.edu.tw/~shann/article/report_full.doc‎。

3.         臺灣PISA國家研究中心，〈數學樣本試題（中文版含評分規準）〉，臺灣PISA國家研究中心，2006年。

4.         National Council of Teachers ofMathematics, Principles and standards forschool mathematics, Reston, Va.: NCTM, 2000.

5.         Common Core State StandardsInitiative, Common Core State Standardsfor Mathematics, Common Core State Standards Initiative, 2011.

作者任職

李源順：台北市立大學數學系含數學教育碩士班