12年國教課程修訂之建議：數的四則運算之概念性理解 - 數學中央輔導群-亮點基地網

各國的課程綱要均強調運算的概念性了解。我國2009年課程綱要談到所謂能熟練數學的運算或計算，係指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下，所進行的純熟操作。此外，中國大陸2011年義務教育課程標準、新加坡2012年的課程綱要(Primary mathematics teaching and learning syllabus)、2010年美國Common CoreState Standards Initiative 制定各州共同核心數學標準(Common Core State Standards for Mathematics)都說明四則運算意義的理解。

強調運算的概念性了解，主要是因為程序性知識的規則時常變來變去，對學生而言沒有感覺，也容易背錯或錯用。例如直式算則中，整數加減乘法可能說成最右邊對齊或者個位對齊個位；到了小數加減法一定要說是個位對個位，乘法則變成最右邊對齊；分數加減法則分母相同，分子才可以相加減；分數乘法又變成分母乘分母，分子乘分子，除法又變成除數顛倒再相乘。若數學強調概念性的了解，學生整合這些程序性知識，了解程序性知識的由來，程序性知識變得有意義。

我國目前學生數學學習時數已經減少，與其他國家的數學學習時數相比也較少，同時就讀學生比率逐年增加。我國1-9年級平均數學年上課時(77.3-108.7小時)數比日本(119.9小時)、韓國(130.4小時)、香港(都100.1-124小時)少。我國現在的上課時數也比2000年以前的課程少。在這樣的情形下，四則運算的概念性理解與程序性運算（純技術演算）的合理份量應該如何分配，才能兼顧學生學習數學的感覺呢？

在小學，數學學習是螺旋式學習，例如先教一位數加法，再教二位、三位數加法。學生有機會一再回到相同的概念，只是數字變大、變複雜（概念推廣）而已。我們先教真分數的加減法再教假分數、帶分數的加減法；先教同分母，再教異分母加減法。因此，學童只要能在對較少位數的運算有概念性理解，他便可以推廣到較大位數的運算；先同分母或者真分數的運算有概念性理解，便可以推廣到其它分數；只是在溝通上比較複雜而已。

事實上，所有全數四則運算的概念性理解主要是利用數的主要概念 -- 位值概念；分數四則運算的概念性理解主要是利用分數的主要概念 -- 單位量的部分／全體或者單位分數的計數。在小學，把小數看成分母為十的冪次方的分數特例。小數四則運算的概念性理解可以使用全數的概念推廣（使用位值概念），或者分數概念。

負數四則概念可以使用理想化的生活情境來理解。例如+50表示賺50元（或者有50元），-50表示賠50元(或者欠別人50元) – 動態與靜態。負負得正可以使用生活當中的逆逆概念來理解；即不是不對，表示對（若將我們將事情理想化二分為對與不對）；以及逆概念-50表示賠50元，-(-50)表示不是賠50元就是賺50元。負數的加減運算可以使用金錢的動態（賺了、賠掉）與靜態（有、欠）的概念來解釋。乘法可以使用概念推廣來解釋，例如水庫的水一天上升5公分，三天後上升用5 5 (-3)表示三天前的水位和現在相比低15公分，即-15。(-5) (-3)只是改變上升為下降。除法則為乘法的逆概念，即與現在的水位相比，三天後上升15公分，一天上升15 3。三天前是上升15公分，即一天下降5公分，即15 (-3)=-5。

建議所有四則運算的概念性理解都在一步驟問題中進行。同時全數加法最多為三位加三位；減法最多為三位減三位；乘除最多為二位乘以二位（三位乘以一位）；除法為四位除以二位。分數四則運算的概念性理解，均在真分數的情形下進行教學。帶分數則使用分配律的概念理解（不再說明真分數的概念）。小數四則運算的概念性理解：加法最多為二位加二位小數（整部部份一位）；減法最多為二位減二位小數（整部部份一位）；乘除最多為二位乘以一位小數；除法為二位除以一位。負數四則的概念性理解可以使用適度理想化的生活情境來理解，建議只在小的整數來解釋即可，之後便概念推廣到分數、小數（若學生發現數學一直在進行概念推廣）。

對於學習成效較差的學生，一開始他無法理解，過了一、二年，教師仍應該利用較小位數運算，讓他們有機會概念性理解。至於現在所學較大位數的運算，只要他理解是較小位數的概念推廣便可以了，不必要求他解釋。

較大位數的運算，教師可以允許使用計機來計算，但是為了使學生能運用計算器處理整數、分數、小數的計算時，能進行合理性的判斷。全數四則運算應讓學生理解n位加減乘除m位的最多與最少位數相關問題（習慣使用極端例思考）。例如二位數乘以二位數最多是四位數（99*99<100*100=10000），最少是三位數(10*10=100)。同時也應該適度強調數感的教學。小數四則運算應讓學生理解n位小數加減乘除m位小數時，最多位小數的相關問題（習慣使用極端例思考）。例如二位小數乘以二位小數最多是四位小數。