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從應用數學角度審視高中數學教材
國立屏東高中
2010. 6. 22.
許瑞麟
學經歷:
國立清華大學數學系學士
美國北卡羅萊納州立大學博士
美國紐澤西州AT&T貝爾實驗室研究員
國立成功大學數學系暨應用數學所教授兼系主任
Outline
讀數學可以做什麼職業?
應用數學問題舉例
函數 – 動態系統
斜率 – 最基礎的函數
會轉彎的函數
指數與對數
週期函數
斜率向量所定義的內積
交錯項與非線性
數學與現實
數學 = 解題?
已知: 求
已知: 是三角形三邊長. 求證:
高中數學的教學, 難道是為了會解這些題目?
數學被稱為科學之母. 但是國中, 高中數學在日常生活中的角色卻鮮少被彰顯過.
學生心中總是會有的疑惑
為何負負會得正? (這些規定總該有個理由吧?)
分數為何要通分才能相加?
為何要學三角函數? (不就是背一些三角恆等式, 再做一些測量塔高之類的應用問題嗎?)
數學歸納法的型態為什麼那麼怪?
數學歸納法為什麼要放在第一册第二章? (放在別的地方不行嗎?)
內積為何要定義成為
那我們學數學, 除了考聯考, 還能幹什麼?
各種職業所需數學能力分級 (美國「職業調查完全手冊」)
第1級：基本算數加減乘除(小學)
第2級：分數與小數, 比例, 百分比(國中)
第3級：多項式, 指數與對數(高中)
第4級：方程式, 不等式, 三角與幾何, 座標, 極限, 連續
(高中, 大一上微積分)
第5級：解析幾何, 微積分與機率統計
(一年微積分,一學期機率, 一學期統計學)
第6級：大學數學系程度的數學課程
(初微, 高微, 線性代數, 複變, 一學期的抽象代數,
一學期機率,一學期的統計學)
決策、經營、管理類
經理、決策者、高階管理人員：第4級
會計師、稽核員、成本分析師、銀行放款主任：第4級
專業類：
工程師：第6級
精算師、系統分析師、統計師：第6級
國高中以上教師(數學相關領域) ：第6級
自然科學家(化學、物理、氣象學、地質學) ：第6級
健康診斷人員(醫師、牙醫) ：第5級
建築師、測量員、生命科學家：第5級
社會科學家(經濟學、心理學、都市規劃等) ：第5級
律師與法官、檢察官：第4級
國高中教師(不含數學與科學) ：第4級
行銷業務人員
收銀員：第2至3級
售貨員：第2至3級
市場及行銷中層主管：第3級
行政支援人員：
詢問台(接待員、售票員等)：第2級
股票交易員：第2級
交通、運輸辦事員：第2級
一般文書人員：第2級
銀行櫃台人員：第3級
其他行政助理：第2級
勞力服務業
門房、清潔人員：第1至2級
食品業、冷飲業櫃台人員：第1級
保母、美容師、居家護理人員：第2級
消防員：第2級
警衛：第1至2級
農林漁牧業
園藝家和地主：第2級
農場管理人員：第2級
機械、生產與維修人員
數值機具操作、工作母機、金屬製程、模具：第4級
電機、電子設備維修人員：第3至4級
機工與維修領班：第3至4級
汽車維修人員：第3至4級
美國全部12,000萬工人中，大約有400萬人的職業要求第5級或第6級的數學程度，也就是包含微積分，這只占全部勞動人口的3%。
但是這個金字塔頂端的 3%, 幾乎都是高收入的專業族群，而且這些工作的可替代性非常低。
數學能力=謀職機會
常有學生問我：「我很喜歡數學，但數學系畢業後能作什麼事？教書嗎？」
根據我在學校的觀察，大約有一半的數學系畢業生選擇教書。
但是另外一半人，有第6級的數學能力，還是有很多的選擇機會。他們有人做保險精算師、系統分析師、行銷專家、網路管理師或財務分析師等等。
這些人就是從事 應用數學 的相關工作.
系友會統計資料
畢業總人數2769人
更新人數1129人(40.77%)
有提供職業853人(30.81%)
系友會職業統計
問題, 數學, 數學問題
有意義的數學問題, 必須包括(1) 一個現實問題; (2) 量化成數學模組(公式); (3) 數學或電腦求解.
現行的高中教材, 缺乏對實際問題以及對量化過程的描述, 使得求解數學問題變成是純然技巧的訓練.
現實生活的問題(舉例):
飛行員排班問題. (矩陣, 空間中平面)
碼頭貨櫃場管理問題. (向量)
鐵原子晶格磁極研究. (指數, 對數, 多項式, 遞迴數列)
多層次無線通訊傳輸. (三角函數, 對數)
動脈粥狀栓塞治療. (切線斜率)
問題解析、量化(以飛行員排班為例)
航空公司每一季公佈班表.
飛行員和空中小姐值班表是一個很複雜的問題. (聽起來像是高職畢業做的事)
一個航空公司最大的成本支出是油料，其次是人事費用。 而人事費用則跟排班班表有關。
所謂飛行員排班問題是:在班機時刻表已公佈的情況下，找出一個最節省成本的飛行員值班表。這個值班表不僅需要涵蓋班機時刻表上的每一班次，而且符合航空公司運作方式、安全法規、、、等規定。
Rules
每一個 legal trip都必需滿足 Rules的要求，這些 Rules規範了飛航安全，也影響飛行人員的權利，及航空公司人事成本的計算。
建構一套完整的 Rules包含著數以百條的規定。現僅就較具代表性的Rules來探討。
(l) Brief time
機師、副機師和空服人員在每天的duty period開始之前，必須先在機場填寫表格或任務提示。一般為三十分鐘 。
(2)Debrief time
機師和副機師在每天結束他們的飛行工作之後，必須在終點機場填寫表格或作任務報告。一般為三十分鐘 。
Rules (Cont’d)
(3)休息時間
機師一天基本上至少要休息十個鐘點。其中必需包含晚上十點到早上六點的這一段時間，除非所飛的班次起飛或降落在該段時間之內。但是 brief time和 debrief time不能算是休息時間，但可以在晚上十點以後或早上六點之前執行。
(4)最多工作時數
機師一天之內，最多的工作時數，包括: flowntime、connection time、deadhead time、brief time，and debrief time等，其總和不得超過一個 duty period工作時數的最大上限。
Rules (Cont’d)
(5) 最多飛行時數
機師一天之內，實際開飛機的 flown time的總時數所必須少於的最大上限。
(6) minimum connection time
轉機時間不得少於四十分鐘。
Rules (Cont’d)
薪資及 cost的計算(以分鐘為單位)
機師在某一個 trip中，自離開 base起，至再回到 base止，所經歷的時間，以分鐘來計算。
當 dead_head的情況發生時，薪資計算方式以 dead_head的分鐘數乘上0.8。
一個 duty period的total flown time，以分鐘來計算。
以一個全球服務超過300個城市的航空公司而言, 符合所有規定的legal trips, 至少有數兆兆種以上的組合.
如何從中挑出數千條trips, 可以cover所有公佈的班表, 並分派給機組人員, 是一個超大的工程.
這不是找個資工的人來寫寫程式就可以解決的, 這是 數學問題.
現實生活的問題: 免費經濟
相對價格
還沒降價前, Lindt 比 Hershey 貴15倍. 降價以後, 變成貴無窮多倍. 與其說人是非理性的, 用數學的說法是: 人的想法是非線性的.
Alchian-Allen Theorem
為何在宜蘭三星當地買不到最好的三星蔥?
假設三星蔥一把的栽種成本是一般蔥的3倍. 兩種蔥運到台北都需要再加上1元的管銷費用
那麼, 在台北的三星蔥比在宜蘭的三星蔥相對售價要來的便宜.
三星蔥成本 = a, 一般蔥=b, a>b>0. Then,
a/b > (a+1)/(b+1).
同樣的原理可以解釋, 在台灣你捨不得花的錢, 出國後都敢花. 因為加上機票費後, 奢侈品相對就變得不那麼奢侈了.
數學上描述數量相對關係的工具: 函數
一個數量或物件自己本身不會有太大的意思.
我們找出 trip, 同時一定要關心這個 trip 可以 cover哪些航班? 要安排哪組機組人員來飛? 成本要多少錢?
當你考89分時, 你一定會想知道全班有幾個人上90分? (自己的成績和別人成績的關係)
當你量體重50Kg, 你第一個想法是變胖還是變瘦. (現在的體重和之前體重的關係)
數量只有在相對的基準下才會有應用上的意義.
兩個量之間的關係 -- 函數(Function)的抽象定義
A function(函數) is a triple(三要素) where:
is a set (called the domain of the function定義域; 自變數域).
is a set (called the codomain of the function對應域; 值域).
is a relation from to . 寫作
簡言之, 函數 f 就是用來表達兩種量x和y之間的關係. 其中x來自集合A, y來自集合B.
動態系統(數量與時間的關係)
這個世界是動態的. 46億年前大氣層主要成分是二氧化碳, 如今是氮(79%), 氧(20%), Ar(1%), 二氧化碳約只剩萬分之三.
1億8千萬年前, 由沉積物的分析發現當時南極大陸的氣候相當溫暖, 如今卻是覆蓋冰雪的大陸.
油價在幾個月前可以一桶原油賣149美元, 現在卻不到一桶80美元.
生命系統, 從細胞到器官到整個生態系, 也是動態的(Dynamical, 隨時間改變).
動態系統和函數
動態系統就是數據和時間的相對關係. 也就是說動態系統是時間的函數.
我們關心下列事情: (i) 什麼現象(數量)在隨著時間改變? (What is changing?); (ii) 變化的速度有多快? (How fast?); (iii) 變成了什麼? (What is it changing into?)
Green House Effect (溫室效應)
溫室效應是關心溫度(T) 與二氧化碳濃度(y)之間的關係.寫成T=h(y).
大氣層內二氧化碳濃度又會隨時間改變. 所以二氧化碳濃度是一個動態系統. 以數學語言來說, 二氧化碳(y)是時間(t)的函數. 寫成 y=f(t).
溫度跟二氧化碳濃度有關,二氧化碳濃度又隨著時間變化, 所以溫度(應變數T)也是動態系統, 隨時間(自變數t)在改變. 寫成T= h(f(t))=g(t).
函數g是h和f的合成.
合成函數
複雜一點的函數, 通常是由基礎函數加以運算(+,-,*,/,根號…)或合成而得.
例如:
大學聯考裡, 有些像看過, 又像沒看過的函數, 幾乎都是這種類型.
過去千年二氧化碳對時間的函數圖形 (1800年後成指數性增長)
近一點觀察, 可以看到成鋸尺狀的週期函數關係, 斜率則在50年內暴增3倍
過去千年氣溫的函數圖形, 近代氣溫約從1650年起回升, 其圖形不屬於任何基礎函數
二氧化碳, CH4, 和溫度過去40萬年的關係圖, 大致吻合
但是時間軸每單位是10000年, 二氧化碳和溫度在時間軸上些許的不一致就會讓溫室效應理論出現為期不短的破綻.
例如, 在上一次冰河時期剛開始的兩萬年裏, (-110,000 年~ -130,000年), 氣溫急凍, 二氧化碳濃度卻還維持在相對高點.
當我在念小學時, 學校教的是二氧化碳將造成下一個冰河世紀的開始
函數的特性
如果這些數量是成固定倍數關係(如虎克定律), 受力大小正比於型變, 這是線性(函數)關係.
如果成平方關係, 如空氣阻力正比於速度平方, 這是二次(函數)關係.
如果成週期性, 如氣候春夏秋冬, 那就是三角函數.
變動劇烈的溫度圖, 則無以名之, 統稱為非線性函數.
X增減一單位, y變化多少? 斜率的概念
斜率是函數圖形上(y=f(x)), 任兩點間, y増量對x増量(可以是負增量)比值. (精確說, 這叫割線斜率)
由除法的意義可以得知, 這個比值所代表的, 就是在該兩點間, 每一單位的x, 所可以分到的y值增量.
直線的割線斜率, 不管如何取, 都保持是一個定值. 所以定值的斜率, 就成為直線最重要的特徵.
日常生活中的斜率概念
相對價格就是一種斜率的概念.
其他如: 布丁一個8元, 漢堡一個79元, 車票一張741元, 選擇題一題5分, 時速100公里, 彈簧彈性係數3(N/m), 電流量(單位時間通過單位截面的電子數), 這些都是兩個量比值, 都是每一單位x所造成的y變化量, 都可以視為是廣義的效率指標, 也就是斜率的概念.
總量是由斜率去求出總合(積分).
線性關係 y=f(x)=ax
當我們執行兩數乘法時, 比如 8x3=24, 乘法兩端8和3兩個數的位階是不一樣的.
以買賣布丁為例, 單價 a=8(元/個)是斜率; 買x=3(個), 所付的總價y=24(元). 買x=5個, 要付y=40元. 買x=-8(個)(等同於賣出8個), 要付出y=-64(元), 也就是收入64元. (你可以感覺得到負負得正嗎?)
因此, 斜率a=8 (元/個)的真正角色是函數, 負責將布丁的個數x (定義域), 對應到其總價y (值域). 其函數圖形是通過原點, 第I, 第III象限之直線.
會轉彎的函數(比如: 伸卡球)
由於直線的斜率固定, 所以函數圖形不會轉彎. 如果在不同位置斜率發生變化, 那函數圖形勢必要轉彎.
如果斜率越變越大, 圖形向上(也可以看成向左)彎曲. 反之, 如果斜率越變越小, 圖形則向下彎曲.
斜率變大的程度(斜率變化量)越激烈, 圖形就會越陡.(越陡峭, 或越陡降).
以斜率說明廣告效益
公司打廣告通常為了要傳遞某個訊息.
廣告效益主要是評估有沒有刺激消費者的購買慾以及改變消費者的購買習慣.
2000年3月, 可口可樂公司開始主打Diet Coke. 廣告的目的主要是連結Diet Coke與歡樂的形象. 主要訴求25-49歲的年輕族群. 這個訊息的主軸是 Be-true-to-yourself.
當這個廣告剛剛開始播送時, 因為知道的人少, 廣告效益的成長是緩慢的. 當這個訊息慢慢被大多數人相信而且記住時, 廣告效益就快速成長. 最後, 信者恆信, 不動者恆不動, 廣告效益達到飽和(趨近某一漸進線).
Logistic curves
廣告效率(efficiency)的指標其實就是
斜率 = 廣告效果y/每一單位廣告預算x.
由於logistic curve的特殊性, 在宣傳活動的後半段, 儘管強力放送(通常是增加廣告預算x以求高播放頻率), 所能增加的廣告效果y (effectiveness)卻相當有限. 換言之, 宣傳後期廣告效率(efficiency)非常低落.
廣告初期, 效率低, 斜率小. 中期效率最高, 斜率最大. 到了末期, 斜率又再度變小.
可口可樂公司怎麼做?
將整個行銷廣告拍成一系列影集. 當第一支廣告片的logistic curve斜率達到最大值時, 續集就馬上推出. 直到一系列廣告全數播完為止.
麥當勞, 家樂福的促銷也是如此, 一個檔期接一個檔期. 前一個檔期銷售出現疲態(效率, 也就是斜率變低), 下個檔期馬上上陣.
Efficiency measure
效率指標隨處可見.
比如, profit-to-revenue(獲利比上營收, 做一塊錢生意賺多少錢). Divident-per-share(每股分紅多少股利). Cost-to-time (每單位時間的運輸成本). Signal-to-noise (雜訊比, 一組音響好壞的重要指標), 195/60R14 (輪胎尺寸規格, 其中的60代表扁平比, 是輪胎過彎效能的指標.)
這些全部都是斜率.
拋物線(二次多項式)的特徵
拋物線 的特徵: 斜率以等差數列的方式增加或減少. 公差為 .
拋物線的二次領導係數 為正, 拋物線斜率以正公差的方式增加, 所以函數圖形向上彎, 開口向上. 若 為負, 拋物線斜率以負公差的形式遞減, 所以函數圖形向下彎, 開口向下.
拋物線只會朝同一個方向彎, 不會上下亂轉.
直線因為不會彎, 斜率是定值, 可以看成公差為0的等差數列, 所以沒有二次項.
指數函數
以 為底數的等比型態函數. 將 自乘 次. 如果底數大於1, 且只看整數的 , 後面的數永遠是前面的 倍. 比如 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187…, 起先增加的比較慢, 然後越來越快. 重點是, 斜率的增加方式: 6, 18, 54, 162, …, ; 換言之, 指數函數的斜率是成等比的方式增長. 這使得指數函數開口向上, 而且要比拋物線來的陡.
如果底數小於1, 比如1/3, 1/9, 1/27, 1/81, …, 乘越多次, 所得結果越小. 剛開始小的快, 然後越小越慢. 斜率是以 -2/9, -2/27, -2/81, …, 的方式遞增, 所以也是開口向上.
e=2.718… 指數函數的成長有多快?
在x軸上距離原點50cm處, 亦即x=50, 其y軸的對應高度在
冥王星 Pluto (The God of underworld)距離地球亦僅只有
換言之, 以現今人類的太空科技, 是沒有辦法畫出指數函數在 x > 50 cm 之後的指數函數圖形.
近百年的氣溫變化（觀測）
很大及很小的數
大部份的人對很大及很小的數沒有強烈的感受及認知.
我們已經看過e的50次方是很大的一個天文數字.
最古老的埃及中國文明距今4千年, 更只佔地球歷史的百萬分之一不到.
科學記號
我國中央政府債務餘額至2007年底約3兆6千億. 寫出來就是 3,600,000,000,000元.
你如果用工程用計算機打入這個數字, 則會顯現出 . 這就是科學記號, 用指數表示法紀錄第一個數字後帶幾個0.
所謂的奈米, 就是一米的10億分之一. 直接寫是 0.000000001. 科學記號記為
所以, 科學記號可以簡潔表示很大或很小的數.
科學記號
我國中央政府債務餘額至2007年底約3兆6千億. 寫出來就是 3,600,000,000,000元.
你如果用工程用計算機打入這個數字, 則會顯現出 . 這就是科學記號, 用指數表示法紀錄第一個數字後帶幾個0.
所謂的奈米, 就是一米的10億分之一. 直接寫是 0.000000001. 科學記號記為
所以, 科學記號可以簡潔表示很大或很小的數.
對數的特性
如果使用對數, 50億年的數量級是9, 4千年的對數值是3點多, 百萬級的(mega-scale)是6, 奈米級(nano-scale) 就是負9.
因此, 對數值可以讓我們輕易處理大至百萬級的量, 小至奈米級的量, 縮在-10跟10之間讓我們觀察使用. 只不過對數值差1,原數值(未取對數前的數)不只是差1, 而是小數點向左或向右挪1位, 也就是差了一個數量級.
所以, 以10為底的等比數列, 取對數後成等差數列.
韋伯－費科納法則（Weber-Fechner）
人類的感官, 不管是視覺, 聽覺, 痛覺等, 刺激源的強度成等比級數增加時，感覺上才只以等差級數增加。所以刺激源的強度要取對數才會是感覺的程度.
震度(0-7)是地震時, 描述地面上的人所感受到搖晃的程度，是由地表水平加速度(刺激的來源)的對數值來劃分。
聲壓的數量級(分貝)
該標度以「聽覺閾」，20μPa 作為參考聲壓值，定義這聲壓水平為0分貝(dB)。
聲壓每增加20μPa 的10倍，對數值(數量級)就增加1(級)，在分貝的刻度上每一級是20分貝。
以10000μPa為例, 他是最低聽覺閾20μPa的500倍, 500的數量級介於2和3之間, 每一級是20分貝, 所以是40-60分貝.
Equal Temperament(巴哈的平均律)
用對數標度來表達聲音還有另一優點：人類的聽覺反應是基於聲音的相對變化而非絕對變化。一個人要比剛剛出力2倍才會讓對方有大聲一倍的感覺. 要出力4倍, 才會有大聲兩倍的效果. 如果要你再再大聲一些, 你可能聲嘶力竭都做不到. 因此音量要取對數, 才能模擬人類耳朵對聲音的反應。
人們對兩個相鄰8度音的聽覺感受，是指高8度音的頻率比原來聲音的頻率多2倍. 高24度音(三個八度音程)的音頻是原音的8倍(而不是6倍).
一個8度音程如果音高要均分成12份, 每一份叫一個半音則相鄰半音的頻率比(the frequency ratio of each note)=
轉換兩次方向的函數 --- Sine
上面討論的函數都只朝一個方向轉彎(或不轉彎).
會換方向轉的最基本函數是三角函數. (當然 也是一個轉換兩次方向的重要例子, 只是高中較少講 ).
三角函數除了會向上向下輪流轉外, 最重要的是她有週期性. 如果以28天當一個週期, 我們就用 來表示, 如果以一個月為單位, 一年一週期則以 來表示.
多變量函數
多個量之間的相對關係, 是用多變量函數來描述.
比如地表溫度不會只有跟二氧化碳濃度有關, 至少還跟太陽活動的劇烈程度, 以及地球自轉的搖擺有關 – 這些都不是我們人類可以決定的.
每一個獨立的變量都必須各自佔據一個變數. 比如, T=f(x,y,z), T代表地表溫度, x是二氧化碳濃度, y是太陽活動的劇烈程度, z是地球自轉的搖擺偏向角. 函數 f 將整個向量 (x,y,z) 對應到溫度 T.
向量的運算:
代表各分量各加各的, 各乘各的.
斜率向量
各分量會有各分量的斜率.
我早餐習慣吃土司, 夾花生醬, 配一杯熱巧克力. 所以早餐的熱量 E (大卡)是土司x(片), 花生醬y(克), 巧克力z(克)的函數. 寫成 E=f(x,y,z).
土司91大卡/片, 這是E對x的斜率; 花生醬6大卡/克, 這是E對y的斜率; 巧克力16.2大卡/克, 這是E對z的斜率. 把三個斜率擺在一起 (91, 6, 16.2)就是作用在(x,y,z)上的斜率向量.
內積
如果我早餐吃兩片土司, 抹上5克的花生醬, 再泡一杯12克的熱巧克力, 則我早餐吃下去的熱量有 91x2+6x5+16.2x12=406.4大卡.
這個數字恰好是斜率向量 (91,6,16.2) 和空間向量 (2,5,12) 的內積.
這兩個向量雖然都是3度空間的向量, 由於位階不同, 是分屬兩個不同的3度空間的向量. 放在前面的斜率向量是多變數函數, 作用在後面的向量上, 值域則是等號右方的實數. 如果沒有做這樣的區分, 一定無法解釋向量乘向量卻得到純量的奇怪觀點.
二次交錯項的例子
在一個人工養殖場裏, 我們關心所養殖的自營生物(autotroph)和養殖池裏養分(Nutrient) 的交互關係.
假定每一期初固定添加養分. 而令 N 代表期初養殖池裏養分的含量 (上一期末殘留的養分量 + 本期添加量). 而這個養分, 有a的比例會被自然沖刷掉.
池裏餵養著以這些養分維生的自營生物. 假設數量共有 X (生物質量單位). 在它們被收成前, 有m的整體平均死亡率. 死亡的生物, 會以1:1的比例, 將其生物質量轉換成養殖池裏的養分.
這些自營生物的成長速度不是定值. 養分越充足, 成長速率越快. 但相對的, 消耗養分的速度也越快. 假設成長速率和N成正比. 因此, 期末養殖池裏的養分 F(N,X):
一個非線性和交錯的世界
幾乎所有的促銷都是非線性的: 買報紙送蘋果(頻果日報), 第一件9折, 兩件8折起(全家便利商店).
所有的預期心理都是非線性的. 當你很窮時, 100元可以買你溫飽, 讓你滿足. 當你有100萬時, 你不會把100元看在眼裡.
大量製造(mass production, 鴻海集團)賺的是非線性的錢. 單位製造成本不是定值, 而是隨生產數量的增加而下降.
走路比開車環保? 走路照樣要消耗能量. 能量的補充要靠食物. 種稻破壞生態, 養豬污染河川, 肥料生產需要電力, 出海捕魚要燒柴油…. 除非退回到幾千年前不需要移動的社會型態, 否則走路的移動效率低, 而且不見得環保.
我們生活在一個線性的指標裏
如果地表溫度持續以目前速度暖化下去, 本世紀結束前北極冰帽將全部溶化.
如果颱風維持目前的行徑和速度, 預計三天後將影響台灣東北部.
按照BMI值來看, 妳的體重是超重.
這波股市下殺, 主要是觀察能否守住10年均線的位置8787點.
要考上成大數學系, 數, 英, 自然要頂級分.
昨是與今非
40多年前, 工業化的污染被認定為地球即將進入下一個冰河世紀的罪魁禍首. 現在, 眾多污染裏的一項二氧化碳, 則是被指稱要為全球暖化來負責.
十多年前被大量倡議的非核家園, 如今為了對抗全球暖化, 形象由黑轉綠, 連環保先鋒的芬蘭都開始蓋核電廠. (經濟學人)
幹細胞的研究, 難保不會是下一個昨是今非的例證. (Science: 幹細胞迅速用於臨床的希望已經破滅).
數學告訴我們, 線性的指標只是提供局部的近似. 因此炒作線性指標所造就的熱門和流行, 往往都只是曇花一現.
不想成為流行的犧牲品
在一個動態, 非線性, 交錯的世界裡想要了解現象的全貌, 我們必須有質疑的勇氣, 包容的胸襟, 和高度的想像力.
流行性的熱門議題幾乎年年更替, 處理這些議題的最核心技術, 舉凡語言, 數學, 物理, 化學, 生物, 卻不會隨波逐流. 如果只學技術, 不明究理, 流行更替之際, 就是淘汰之時.
相反的, 學習這些基礎科學時, 研讀的角度, 動機, 和面向, 都必須夠切身, 夠近代, 夠深入. 否則, 有些人學不上手, 有些人上手了以後完全不會用, 有人會用了但是變的偏執. 結果都是還沒跟上流行就陣亡了.
學生需要被啟發被訓練
動機是慢慢蘊釀的.
角度是一再調整的.
面向是一層一層撥開.
很多事情的答案是經驗的累積.
這些經驗, 花掉先人巨量的時間和智慧, 其過程, 應該是故事性的. 其結果, 應該是動人而肅然的.
我認為這些經驗, 必須要有系統的編進各級數學教材, 而且要與時俱進.
學生將學到累積這些經驗的要訣, 以及日後處理問題的態度和習慣.
教科書的創新
國內教科書著重定律公式陳述, 說明則減至最少, 所以都是薄薄一本. 雖然學起來效率高, 但也無趣的很.
數學無法從實際問題中切割出來單獨講授(純數學研究除外). 問題的本身跟數學同樣重要, 值得用相當的篇幅加以闡述.
我們需要一本能細心敏銳地理解學生使用經驗的教科書. 目的在讓學生讀進去後, 自己就可以說出個所以然來.
現實生活的問題, 遠比數學和電腦能處理的要難上許多:
飛行員排班問題. (矩陣, 空間中平面)
高解析度電視 HDTV (矩陣).
碼頭貨櫃場管理問題. (向量)
鐵原子晶格磁極研究. (指數, 對數, 多項式, 遞迴數列)
多層次無線通訊傳輸. (三角函數, 對數)
超音波治療惡性腫瘤. (三角函數, 內積)
動脈粥狀栓塞治療. (切線斜率)
團隊合作
這不是個人英雄的時代.
上面每個問題, 至少都牽涉到5個領域以上 –飛航, 管理, 心理, 電機, 化工, 醫學, 物理, 數學, 電腦, 運輸, 歷史, 經濟…等等, 沒有任何天才可以包山包海, 也沒有人可以只懂個別專業.
在數學上所養成處理問題的態度和習慣, 包括抽象思維的訓練, 看問題多層次思考, 對數據真正含意的掌握, 讓我比較容易了解別人的專業領域.
問題, 數學, 數學問題
有意義的數學問題, 必須包括(1) 一個現實問題; (2) 量化成數學模組(公式); (3) 數學或電腦求解.
現行的高中教材, 缺乏對實際問題以及對量化過程的描述, 使得求解數學問題變成是純然技巧的訓練.
現實生活的問題(舉例):
飛行員排班問題. (矩陣, 空間中平面)
碼頭貨櫃場管理問題. (向量)
鐵原子晶格磁極研究. (指數, 對數, 多項式, 遞迴數列)
多層次無線通訊傳輸. (三角函數, 對數)
動脈粥狀栓塞治療. (切線斜率)
問題解析、量化(以飛行員排班為例)
航空公司每一季公佈班表.
飛行員和空中小姐值班表是一個很複雜的問題. (聽起來像是高職畢業做的事)
一個航空公司最大的成本支出是油料，其次是人事費用。 而人事費用則跟排班班表有關。
所謂飛行員排班問題是:在班機時刻表已公佈的情況下，找出一個最節省成本的飛行員值班表。這個值班表不僅需要涵蓋班機時刻表上的每一班次，而且符合航空公司運作方式、安全法規、、、等規定。
Rules
每一個 legal trip都必需滿足 Rules的要求，這些 Rules規範了飛航安全，也影響飛行人員的權利，及航空公司人事成本的計算。
建構一套完整的 Rules包含著數以百條的規定。現僅就較具代表性的Rules來探討。
(l) Brief time
機師、副機師和空服人員在每天的duty period開始之前，必須先在機場填寫表格或任務提示。一般為三十分鐘 。
(2)Debrief time
機師和副機師在每天結束他們的飛行工作之後，必須在終點機場填寫表格或作任務報告。一般為三十分鐘 。
Rules (Cont’d)
(3)休息時間
機師一天基本上至少要休息十個鐘點。其中必需包含晚上十點到早上六點的這一段時間，除非所飛的班次起飛或降落在該段時間之內。但是 brief time和 debrief time不能算是休息時間，但可以在晚上十點以後或早上六點之前執行。
(4)最多工作時數
機師一天之內，最多的工作時數，包括: flowntime、connection time、deadhead time、brief time，and debrief time等，其總和不得超過一個 duty period工作時數的最大上限。
Rules (Cont’d)
(5) 最多飛行時數
機師一天之內，實際開飛機的 flown time的總時數所必須少於的最大上限。
(6) minimum connection time
轉機時間不得少於四十分鐘。
Rules (Cont’d)
薪資及 cost的計算(以分鐘為單位)
機師在某一個 trip中，自離開 base起，至再回到 base止，所經歷的時間，以分鐘來計算。
當 dead_head的情況發生時，薪資計算方式以 dead_head的分鐘數乘上0.8。
一個 duty period的total flown time，以分鐘來計算。
以一個全球服務超過300個城市的航空公司而言, 符合所有規定的legal trips, 至少有數兆兆種以上的組合.
如何從中挑出數千條trips, 可以cover所有公佈的班表, 並分派給機組人員, 是一個超大的工程.
這不是找個資工的人來寫寫程式就可以解決的, 這是 數學問題.
現實生活的問題: 免費經濟
相對價格
還沒降價前, Lindt 比 Hershey 貴15倍. 降價以後, 變成貴無窮多倍. 與其說人是非理性的, 用數學的說法是: 人的想法是非線性的.
Alchian-Allen Theorem
為何在宜蘭三星當地買不到最好的三星蔥?
假設三星蔥一把的栽種成本是一般蔥的3倍. 兩種蔥運到台北都需要再加上1元的管銷費用
那麼, 在台北的三星蔥比在宜蘭的三星蔥相對售價要來的便宜.
三星蔥成本 = a, 一般蔥=b, a>b>0. Then,
a/b > (a+1)/(b+1).
同樣的原理可以解釋, 在台灣你捨不得花的錢, 出國後都敢花. 因為加上機票費後, 奢侈品相對就變得不那麼奢侈了.
數學上描述數量相對關係的工具: 函數
一個數量或物件自己本身不會有太大的意思.
我們找出 trip, 同時一定要關心這個 trip 可以 cover哪些航班? 要安排哪組機組人員來飛? 成本要多少錢?
當你考89分時, 你一定會想知道全班有幾個人上90分? (自己的成績和別人成績的關係)
當你量體重50Kg, 你第一個想法是變胖還是變瘦. (現在的體重和之前體重的關係)
數量只有在相對的基準下才會有應用上的意義.
兩個量之間的關係 -- 函數(Function)的抽象定義
A function(函數) is a triple(三要素) where:
is a set (called the domain of the function定義域; 自變數域).
is a set (called the codomain of the function對應域; 值域).
is a relation from to . 寫作
簡言之, 函數 f 就是用來表達兩種量x和y之間的關係. 其中x來自集合A, y來自集合B.
動態系統(數量與時間的關係)
這個世界是動態的. 46億年前大氣層主要成分是二氧化碳, 如今是氮(79%), 氧(20%), Ar(1%), 二氧化碳約只剩萬分之三.
1億8千萬年前, 由沉積物的分析發現當時南極大陸的氣候相當溫暖, 如今卻是覆蓋冰雪的大陸.
油價在幾個月前可以一桶原油賣149美元, 現在卻不到一桶80美元.
生命系統, 從細胞到器官到整個生態系, 也是動態的(Dynamical, 隨時間改變).
動態系統和函數
動態系統就是數據和時間的相對關係. 也就是說動態系統是時間的函數.
我們關心下列事情: (i) 什麼現象(數量)在隨著時間改變? (What is changing?); (ii) 變化的速度有多快? (How fast?); (iii) 變成了什麼? (What is it changing into?)
Green House Effect (溫室效應)
溫室效應是關心溫度(T) 與二氧化碳濃度(y)之間的關係.寫成T=h(y).
大氣層內二氧化碳濃度又會隨時間改變. 所以二氧化碳濃度是一個動態系統. 以數學語言來說, 二氧化碳(y)是時間(t)的函數. 寫成 y=f(t).
溫度跟二氧化碳濃度有關,二氧化碳濃度又隨著時間變化, 所以溫度(應變數T)也是動態系統, 隨時間(自變數t)在改變. 寫成T= h(f(t))=g(t).
函數g是h和f的合成.
合成函數
複雜一點的函數, 通常是由基礎函數加以運算(+,-,*,/,根號…)或合成而得.
例如:
大學聯考裡, 有些像看過, 又像沒看過的函數, 幾乎都是這種類型.
過去千年二氧化碳對時間的函數圖形 (1800年後成指數性增長)
近一點觀察, 可以看到成鋸尺狀的週期函數關係, 斜率則在50年內暴增3倍
過去千年氣溫的函數圖形, 近代氣溫約從1650年起回升, 其圖形不屬於任何基礎函數
二氧化碳, CH4, 和溫度過去40萬年的關係圖, 大致吻合
但是時間軸每單位是10000年, 二氧化碳和溫度在時間軸上些許的不一致就會讓溫室效應理論出現為期不短的破綻.
例如, 在上一次冰河時期剛開始的兩萬年裏, (-110,000 年~ -130,000年), 氣溫急凍, 二氧化碳濃度卻還維持在相對高點.
當我在念小學時, 學校教的是二氧化碳將造成下一個冰河世紀的開始
函數的特性
如果這些數量是成固定倍數關係(如虎克定律), 受力大小正比於型變, 這是線性(函數)關係.
如果成平方關係, 如空氣阻力正比於速度平方, 這是二次(函數)關係.
如果成週期性, 如氣候春夏秋冬, 那就是三角函數.
變動劇烈的溫度圖, 則無以名之, 統稱為非線性函數.
X增減一單位, y變化多少? 斜率的概念
斜率是函數圖形上(y=f(x)), 任兩點間, y増量對x増量(可以是負增量)比值. (精確說, 這叫割線斜率)
由除法的意義可以得知, 這個比值所代表的, 就是在該兩點間, 每一單位的x, 所可以分到的y值增量.
直線的割線斜率, 不管如何取, 都保持是一個定值. 所以定值的斜率, 就成為直線最重要的特徵.
日常生活中的斜率概念
相對價格就是一種斜率的概念.
其他如: 布丁一個8元, 漢堡一個79元, 車票一張741元, 選擇題一題5分, 時速100公里, 彈簧彈性係數3(N/m), 電流量(單位時間通過單位截面的電子數), 這些都是兩個量比值, 都是每一單位x所造成的y變化量, 都可以視為是廣義的效率指標, 也就是斜率的概念.
總量是由斜率去求出總合(積分).
線性關係 y=f(x)=ax
當我們執行兩數乘法時, 比如 8x3=24, 乘法兩端8和3兩個數的位階是不一樣的.
以買賣布丁為例, 單價 a=8(元/個)是斜率; 買x=3(個), 所付的總價y=24(元). 買x=5個, 要付y=40元. 買x=-8(個)(等同於賣出8個), 要付出y=-64(元), 也就是收入64元. (你可以感覺得到負負得正嗎?)
因此, 斜率a=8 (元/個)的真正角色是函數, 負責將布丁的個數x (定義域), 對應到其總價y (值域). 其函數圖形是通過原點, 第I, 第III象限之直線.
會轉彎的函數(比如: 伸卡球)
由於直線的斜率固定, 所以函數圖形不會轉彎. 如果在不同位置斜率發生變化, 那函數圖形勢必要轉彎.
如果斜率越變越大, 圖形向上(也可以看成向左)彎曲. 反之, 如果斜率越變越小, 圖形則向下彎曲.
斜率變大的程度(斜率變化量)越激烈, 圖形就會越陡.(越陡峭, 或越陡降).
以斜率說明廣告效益
公司打廣告通常為了要傳遞某個訊息.
廣告效益主要是評估有沒有刺激消費者的購買慾以及改變消費者的購買習慣.
2000年3月, 可口可樂公司開始主打Diet Coke. 廣告的目的主要是連結Diet Coke與歡樂的形象. 主要訴求25-49歲的年輕族群. 這個訊息的主軸是 Be-true-to-yourself.
當這個廣告剛剛開始播送時, 因為知道的人少, 廣告效益的成長是緩慢的. 當這個訊息慢慢被大多數人相信而且記住時, 廣告效益就快速成長. 最後, 信者恆信, 不動者恆不動, 廣告效益達到飽和(趨近某一漸進線).
Logistic curves
廣告效率(efficiency)的指標其實就是
斜率 = 廣告效果y/每一單位廣告預算x.
由於logistic curve的特殊性, 在宣傳活動的後半段, 儘管強力放送(通常是增加廣告預算x以求高播放頻率), 所能增加的廣告效果y (effectiveness)卻相當有限. 換言之, 宣傳後期廣告效率(efficiency)非常低落.
廣告初期, 效率低, 斜率小. 中期效率最高, 斜率最大. 到了末期, 斜率又再度變小.
可口可樂公司怎麼做?
將整個行銷廣告拍成一系列影集. 當第一支廣告片的logistic curve斜率達到最大值時, 續集就馬上推出. 直到一系列廣告全數播完為止.
麥當勞, 家樂福的促銷也是如此, 一個檔期接一個檔期. 前一個檔期銷售出現疲態(效率, 也就是斜率變低), 下個檔期馬上上陣.
Efficiency measure
效率指標隨處可見.
比如, profit-to-revenue(獲利比上營收, 做一塊錢生意賺多少錢). Divident-per-share(每股分紅多少股利). Cost-to-time (每單位時間的運輸成本). Signal-to-noise (雜訊比, 一組音響好壞的重要指標), 195/60R14 (輪胎尺寸規格, 其中的60代表扁平比, 是輪胎過彎效能的指標.)
這些全部都是斜率.
拋物線(二次多項式)的特徵
拋物線 的特徵: 斜率以等差數列的方式增加或減少. 公差為 .
拋物線的二次領導係數 為正, 拋物線斜率以正公差的方式增加, 所以函數圖形向上彎, 開口向上. 若 為負, 拋物線斜率以負公差的形式遞減, 所以函數圖形向下彎, 開口向下.
拋物線只會朝同一個方向彎, 不會上下亂轉.
直線因為不會彎, 斜率是定值, 可以看成公差為0的等差數列, 所以沒有二次項.
指數函數
以 為底數的等比型態函數. 將 自乘 次. 如果底數大於1, 且只看整數的 , 後面的數永遠是前面的 倍. 比如 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187…, 起先增加的比較慢, 然後越來越快. 重點是, 斜率的增加方式: 6, 18, 54, 162, …, ; 換言之, 指數函數的斜率是成等比的方式增長. 這使得指數函數開口向上, 而且要比拋物線來的陡.
如果底數小於1, 比如1/3, 1/9, 1/27, 1/81, …, 乘越多次, 所得結果越小. 剛開始小的快, 然後越小越慢. 斜率是以 -2/9, -2/27, -2/81, …, 的方式遞增, 所以也是開口向上.
e=2.718… 指數函數的成長有多快?
在x軸上距離原點50cm處, 亦即x=50, 其y軸的對應高度在
冥王星 Pluto (The God of underworld)距離地球亦僅只有
換言之, 以現今人類的太空科技, 是沒有辦法畫出指數函數在 x > 50 cm 之後的指數函數圖形.
近百年的氣溫變化（觀測）
很大及很小的數
大部份的人對很大及很小的數沒有強烈的感受及認知.
我們已經看過e的50次方是很大的一個天文數字.
最古老的埃及中國文明距今4千年, 更只佔地球歷史的百萬分之一不到.
科學記號
我國中央政府債務餘額至2007年底約3兆6千億. 寫出來就是 3,600,000,000,000元.
你如果用工程用計算機打入這個數字, 則會顯現出 . 這就是科學記號, 用指數表示法紀錄第一個數字後帶幾個0.
所謂的奈米, 就是一米的10億分之一. 直接寫是 0.000000001. 科學記號記為
所以, 科學記號可以簡潔表示很大或很小的數.
科學記號
我國中央政府債務餘額至2007年底約3兆6千億. 寫出來就是 3,600,000,000,000元.
你如果用工程用計算機打入這個數字, 則會顯現出 . 這就是科學記號, 用指數表示法紀錄第一個數字後帶幾個0.
所謂的奈米, 就是一米的10億分之一. 直接寫是 0.000000001. 科學記號記為
所以, 科學記號可以簡潔表示很大或很小的數.
對數的特性
如果使用對數, 50億年的數量級是9, 4千年的對數值是3點多, 百萬級的(mega-scale)是6, 奈米級(nano-scale) 就是負9.
因此, 對數值可以讓我們輕易處理大至百萬級的量, 小至奈米級的量, 縮在-10跟10之間讓我們觀察使用. 只不過對數值差1,原數值(未取對數前的數)不只是差1, 而是小數點向左或向右挪1位, 也就是差了一個數量級.
所以, 以10為底的等比數列, 取對數後成等差數列.
韋伯－費科納法則（Weber-Fechner）
人類的感官, 不管是視覺, 聽覺, 痛覺等, 刺激源的強度成等比級數增加時，感覺上才只以等差級數增加。所以刺激源的強度要取對數才會是感覺的程度.
震度(0-7)是地震時, 描述地面上的人所感受到搖晃的程度，是由地表水平加速度(刺激的來源)的對數值來劃分。
聲壓的數量級(分貝)
該標度以「聽覺閾」，20μPa 作為參考聲壓值，定義這聲壓水平為0分貝(dB)。
聲壓每增加20μPa 的10倍，對數值(數量級)就增加1(級)，在分貝的刻度上每一級是20分貝。
以10000μPa為例, 他是最低聽覺閾20μPa的500倍, 500的數量級介於2和3之間, 每一級是20分貝, 所以是40-60分貝.
Equal Temperament(巴哈的平均律)
用對數標度來表達聲音還有另一優點：人類的聽覺反應是基於聲音的相對變化而非絕對變化。一個人要比剛剛出力2倍才會讓對方有大聲一倍的感覺. 要出力4倍, 才會有大聲兩倍的效果. 如果要你再再大聲一些, 你可能聲嘶力竭都做不到. 因此音量要取對數, 才能模擬人類耳朵對聲音的反應。
人們對兩個相鄰8度音的聽覺感受，是指高8度音的頻率比原來聲音的頻率多2倍. 高24度音(三個八度音程)的音頻是原音的8倍(而不是6倍).
一個8度音程如果音高要均分成12份, 每一份叫一個半音則相鄰半音的頻率比(the frequency ratio of each note)=
轉換兩次方向的函數 --- Sine
上面討論的函數都只朝一個方向轉彎(或不轉彎).
會換方向轉的最基本函數是三角函數. (當然 也是一個轉換兩次方向的重要例子, 只是高中較少講 ).
三角函數除了會向上向下輪流轉外, 最重要的是她有週期性. 如果以28天當一個週期, 我們就用 來表示, 如果以一個月為單位, 一年一週期則以 來表示.
多變量函數
多個量之間的相對關係, 是用多變量函數來描述.
比如地表溫度不會只有跟二氧化碳濃度有關, 至少還跟太陽活動的劇烈程度, 以及地球自轉的搖擺有關 – 這些都不是我們人類可以決定的.
每一個獨立的變量都必須各自佔據一個變數. 比如, T=f(x,y,z), T代表地表溫度, x是二氧化碳濃度, y是太陽活動的劇烈程度, z是地球自轉的搖擺偏向角. 函數 f 將整個向量 (x,y,z) 對應到溫度 T.
向量的運算:
代表各分量各加各的, 各乘各的.
斜率向量
各分量會有各分量的斜率.
我早餐習慣吃土司, 夾花生醬, 配一杯熱巧克力. 所以早餐的熱量 E (大卡)是土司x(片), 花生醬y(克), 巧克力z(克)的函數. 寫成 E=f(x,y,z).
土司91大卡/片, 這是E對x的斜率; 花生醬6大卡/克, 這是E對y的斜率; 巧克力16.2大卡/克, 這是E對z的斜率. 把三個斜率擺在一起 (91, 6, 16.2)就是作用在(x,y,z)上的斜率向量.
內積
如果我早餐吃兩片土司, 抹上5克的花生醬, 再泡一杯12克的熱巧克力, 則我早餐吃下去的熱量有 91x2+6x5+16.2x12=406.4大卡.
這個數字恰好是斜率向量 (91,6,16.2) 和空間向量 (2,5,12) 的內積.
這兩個向量雖然都是3度空間的向量, 由於位階不同, 是分屬兩個不同的3度空間的向量. 放在前面的斜率向量是多變數函數, 作用在後面的向量上, 值域則是等號右方的實數. 如果沒有做這樣的區分, 一定無法解釋向量乘向量卻得到純量的奇怪觀點.
二次交錯項的例子
在一個人工養殖場裏, 我們關心所養殖的自營生物(autotroph)和養殖池裏養分(Nutrient) 的交互關係.
假定每一期初固定添加養分. 而令 N 代表期初養殖池裏養分的含量 (上一期末殘留的養分量 + 本期添加量). 而這個養分, 有a的比例會被自然沖刷掉.
池裏餵養著以這些養分維生的自營生物. 假設數量共有 X (生物質量單位). 在它們被收成前, 有m的整體平均死亡率. 死亡的生物, 會以1:1的比例, 將其生物質量轉換成養殖池裏的養分.
這些自營生物的成長速度不是定值. 養分越充足, 成長速率越快. 但相對的, 消耗養分的速度也越快. 假設成長速率和N成正比. 因此, 期末養殖池裏的養分 F(N,X):
一個非線性和交錯的世界
幾乎所有的促銷都是非線性的: 買報紙送蘋果(頻果日報), 第一件9折, 兩件8折起(全家便利商店).
所有的預期心理都是非線性的. 當你很窮時, 100元可以買你溫飽, 讓你滿足. 當你有100萬時, 你不會把100元看在眼裡.
大量製造(mass production, 鴻海集團)賺的是非線性的錢. 單位製造成本不是定值, 而是隨生產數量的增加而下降.
走路比開車環保? 走路照樣要消耗能量. 能量的補充要靠食物. 種稻破壞生態, 養豬污染河川, 肥料生產需要電力, 出海捕魚要燒柴油…. 除非退回到幾千年前不需要移動的社會型態, 否則走路的移動效率低, 而且不見得環保.
我們生活在一個線性的指標裏
如果地表溫度持續以目前速度暖化下去, 本世紀結束前北極冰帽將全部溶化.
如果颱風維持目前的行徑和速度, 預計三天後將影響台灣東北部.
按照BMI值來看, 妳的體重是超重.
這波股市下殺, 主要是觀察能否守住10年均線的位置8787點.
要考上成大數學系, 數, 英, 自然要頂級分.
昨是與今非
40多年前, 工業化的污染被認定為地球即將進入下一個冰河世紀的罪魁禍首. 現在, 眾多污染裏的一項二氧化碳, 則是被指稱要為全球暖化來負責.
十多年前被大量倡議的非核家園, 如今為了對抗全球暖化, 形象由黑轉綠, 連環保先鋒的芬蘭都開始蓋核電廠. (經濟學人)
幹細胞的研究, 難保不會是下一個昨是今非的例證. (Science: 幹細胞迅速用於臨床的希望已經破滅).
數學告訴我們, 線性的指標只是提供局部的近似. 因此炒作線性指標所造就的熱門和流行, 往往都只是曇花一現.
不想成為流行的犧牲品
在一個動態, 非線性, 交錯的世界裡想要了解現象的全貌, 我們必須有質疑的勇氣, 包容的胸襟, 和高度的想像力.
流行性的熱門議題幾乎年年更替, 處理這些議題的最核心技術, 舉凡語言, 數學, 物理, 化學, 生物, 卻不會隨波逐流. 如果只學技術, 不明究理, 流行更替之際, 就是淘汰之時.
相反的, 學習這些基礎科學時, 研讀的角度, 動機, 和面向, 都必須夠切身, 夠近代, 夠深入. 否則, 有些人學不上手, 有些人上手了以後完全不會用, 有人會用了但是變的偏執. 結果都是還沒跟上流行就陣亡了.
學生需要被啟發被訓練
動機是慢慢蘊釀的.
角度是一再調整的.
面向是一層一層撥開.
很多事情的答案是經驗的累積.
這些經驗, 花掉先人巨量的時間和智慧, 其過程, 應該是故事性的. 其結果, 應該是動人而肅然的.
我認為這些經驗, 必須要有系統的編進各級數學教材, 而且要與時俱進.
學生將學到累積這些經驗的要訣, 以及日後處理問題的態度和習慣.
教科書的創新
國內教科書著重定律公式陳述, 說明則減至最少, 所以都是薄薄一本. 雖然學起來效率高, 但也無趣的很.
數學無法從實際問題中切割出來單獨講授(純數學研究除外). 問題的本身跟數學同樣重要, 值得用相當的篇幅加以闡述.
我們需要一本能細心敏銳地理解學生使用經驗的教科書. 目的在讓學生讀進去後, 自己就可以說出個所以然來.
現實生活的問題, 遠比數學和電腦能處理的要難上許多:
飛行員排班問題. (矩陣, 空間中平面)
高解析度電視 HDTV (矩陣).
碼頭貨櫃場管理問題. (向量)
鐵原子晶格磁極研究. (指數, 對數, 多項式, 遞迴數列)
多層次無線通訊傳輸. (三角函數, 對數)
超音波治療惡性腫瘤. (三角函數, 內積)
動脈粥狀栓塞治療. (切線斜率)
團隊合作
這不是個人英雄的時代.
上面每個問題, 至少都牽涉到5個領域以上 –飛航, 管理, 心理, 電機, 化工, 醫學, 物理, 數學, 電腦, 運輸, 歷史, 經濟…等等, 沒有任何天才可以包山包海, 也沒有人可以只懂個別專業.
在數學上所養成處理問題的態度和習慣, 包括抽象思維的訓練, 看問題多層次思考, 對數據真正含意的掌握, 讓我比較容易了解別人的專業領域.
Thank you!!
發表於 2014-1-17 13:43:03
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