國小數學教材教法專有名詞

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本會制定國小數學教材教法專有名詞的用意

• 任何一個學門，都有他們的專業用語，它可以讓大家更有效率的溝通，一說到這個名詞，就知道它的意思是什麼，就像我們說＂三角形＂一樣，大家都清楚，不用再解釋它。
• 103年國小合格教師甄試要加考國小數學教材教法。此專有名詞可以讓未來教師有準備的方向和依據。
  

• 專有名詞是和老師們溝通之用，不一定能用在教國小學生身上，因此，不一定要拿來教國小學生。
• 可以拿來教國小學生，以期能夠做有效溝通的專有名詞，也可以建立。因為我曾看過大陸的國小教學現場說這是＂直接比較＂的方法。
• 數學上已確定的專有名詞，它也是我們要了的，例如約分、擴分。我們不再制定。
  

請大家提供＂建設＂性意見。希望先求有，再求好，再更好。

壹、全數

一、表徵(Representaion)

「表徵」（representation，張春興，1989）是認知學派的重要概念。認知心理學認為將現實世界的事物以另一種較為抽象或符號化的形式（文字、語言是抽象的）來代表的歷程，便是表徵。

Lesh, Post, & Behr (1987)從溝通的觀點，區分表徵為實物(實際情境)、具體操作物、圖形、語言以及符號。

                             

                                                圖2.1  表徵關係圖(譯自Lesh，Post&Behr，1987，p.34)

實物表徵就是日常生活中實際的物件。例如實際拿出1包糖果，要學童說出這包糖果的有多少顆糖果。其中的1包糖果就是實物表徵，20顆糖果實際表徵物。有時候，我們會拿出一包有20顆糖果的實物圖像，我們也可以稱它是實物表徵，因為學童看到實物圖像就好像看到真的東西。

具體操作物表徵就是像積木、花片等讓學童用來具體操作相關概念的物件。分數板就是分數教學時常用的具體操作物；在離散量情境時，也可以使用花片或積木。例如：拿出10個花片，代表10顆糖果，拿出23個積本代表23個人。此處10個花片、23個積木就是具體操作物。

圖形表徵：靜態的圖像，例如10和1的圖形讓我們用來代替金錢、糖果等等事物的圖形，我們稱為圖形表徵。例如，我們會 代表一盒有4個月餅。再如畫 代表23個人。

語言表徵：日常生活中常用的口語符號，例如用口語說出的「二十三」代表23。

符號表徵：我們把概念書寫出來的文字或符號，例如23就是數字的符號表徵。

二、情境結構

情境結構可以分成一維連續量、二維續量、離散量等情境。

離散量是在日常生活中，時常以離散的方式出現，同時人們比較不會特意去割它的物件，例如人、馬、蘋果、糖果…等物件，因為這些物件習慣上以整體的方式呈現，不會特意去切割它．因此我們稱它為離散量。

連續量是在日常生活中，時常以一個整體的方式出現的物件，例如繩子、緞帶、蛋糕、披薩、…等等，在日常生活中，時常是完整出現。因為繩子、緞帶…等等在日常生活中是一長條的形狀；我們表徵它時，常用線狀的方式呈現，因此我們稱它為一維連續量。因為蛋糕、披薩…等個物，雖然是立體的個物，可以我們在表徵它時，常用二維平面的方式表徵它，而不用三維立體的方式表徵它，因此我們稱它為二維連續量。

在學習上，有時候我們會把蛋糕、緞帶等連續量進行切割，此時，有學者稱它為連續量離散化。

離散量是學童學習整數與整數四則運算的合理情境，連續量（離散化）情境則是學童學習分數概念的合理情境（一般分數概念都會先從二維連續量入手，一維連續量又可以連結到數線概念）。

三、語意結構(一) 加法和減法

主要是要解決部份／全體的改變型或合併型問題，至於比較型和平衡型問題則是部份／全體的概念推廣問題。因此加、減法問題主要可以分為改變型、合併型、比較型和平衡型（等化型）問題。

(1)改變型（change）

改變型的問題對加法來說，是原來有部份量，再放入（加入）另一部份量而成全部的量（又稱添加型）。對減法來說，則是從所有量中拿走部份的量以後剩下部份的量(又稱拿走型)。因此改變型的語意中一開始的量稱為最初量（或稱起始量, start），加入或拿走的量稱為改變量（change），最後的量就稱為最終量（或者結果量, end）。一般而言，加(減)法的概念啟蒙是改變型的問題(關鍵概念)，學童大都從這種題型開始學習加(減)法（讀者要是不信，可以要求學童舉一個3+5=8的例子，就知道大部份的學童都會舉改變型的問題）。

例如，「車上原來有5個人，又上來3個人，現在車上總共有多少人？」「家裏有8個蘋果，吃掉3個蘋果，現在家裏剩下多少個蘋果？」其中的5個人和8個蘋果就是最初量(起始量)，3個人和3個蘋果就是改變量，而8個人和5個蘋果就是最終量（結果量）。

有時候學者想把加法和減法區分開來，就把改變型問題分別稱為添加型(change add to)和拿走型(change take from)。

(2)合併型（combine）

合併型的問題是兩個部份量同時併存於語意之中，同時要求全部的量的問題；或者已知全部的量和某部份的量，要求另一部份的量。這兩個部份的量稱為部份量（part），兩個量的和或者全部的量稱為整體量（all）。

例如，「班上有男生15人，女生18人，班上共有多少人？」或者「班上有33位同學，其中男生有15位，則女生有多少位？」其中的男生15人和女生18人都是部份量，班上學童33人則是整體量。

(3)比較型(比多型和比少型)（compare）

比較型問題是兩量相比的語意問題，這兩量分別稱為參考量（referent）及比較量(compared quantity)。以“我比你大2歲”為例，是用“你的年紀”當參考來量“我的年紀”，故“你的年紀”稱為參考量，而“我的年紀”稱為比較量。另外，我們二人相差的歲數稱為差異量(difference)。

(4)平衡型（等化型）（equalize）

平衡型是比較類和改變類的混合，也可以看做另一種比較型。像改變類問題一樣，含有行為，但卻是在比較二個互斥的量的大小。例如，「小明有10顆彈珠，小華有7顆，請問小華再多幾顆彈珠就和小明一樣多？」

平衡型的問題和比較型的問題，讀者也可以把它想像成三一律（大於，或小於，或等於vs.比較多，比較少，一樣多）。因此上述問題，也可以用比較型的量的名稱來稱呼。也就是，小明的10顆就是參考量，小華的7顆就是比較量，再多幾顆就是差異量。

(二) 整數的乘法

整數的乘法概念主要是解決部份／全體的等組型（或者等量型）、矩陣型的問題，倍數型、比例型、面積型和笛卡爾積型（又稱外積）問題是乘法概念的推廣。

(1)等組（或等量）型(equal groups, equal measures)

等組型問題是每組內的數量一樣多，求出總量的語意結構。例如，「每一個盤子有3個蘋果（單位量），5個盤子（單位數）有多少個蘋果（總量）？」其中一盤3個我們稱為單位量，5盤稱為單位數（是5個一盤），全部有多少個稱為總量。

也就是：單位量×單位數=總量。

(2)矩陣型(array)

矩陣型是一個物體的矩形排列，當他的每一列是等量的，而每一行也是等量的情形。例如，「操場有學童在排隊，一排有15人，總共有12排，請問排隊的學童有多少人？」

(3)倍數型(times)

以一數量為參考量，求出此數量的幾倍問題的語意結構。例如：妹妹有5張奬卡，哥哥的獎卡是妹妹的3倍，請問妹妹有幾張獎卡？

(4)比例型(proportion)

比例型問題可以是四個量之間的關係，只不夠當一個量是單位量時，就變成一個步驟的乘法問題。例如「一張偶像照片可以用8張貼紙來換，4張偶像照片，可以用幾張貼紙來換？」「一個布偶可以用20張貼紙來換，4個布偶可以用幾張貼紙來換？」

(5)面積型（rectangular area）

在二維連續量的情境中，已知一圖形的邊長，求面積的語意問題。例如：「一個長方形的長是4公尺，寬是3公尺，問這個長方形的面積是多少平方公尺？」

(6)笛卡爾積（Cartesian product）

笛卡爾積是兩個集合的乘積所成的新集合。例如，「約翰有兩件不同顏色的衣服，三條不同款式的褲子。一件衣服一件褲子配成一套裝，約翰可以搭配多少種不同的套裝呢？」再如，「從甲地乙地有3種走法，從乙地到丙地有4種走法，請問從甲地到丙地有多少種走法？」

(三) 除法

除法則主要分為包含除（quotitive division）（又稱為分裝）和等分除（partitive division）（又稱為平分）。

1.        包含除

包含除問題是指利用已知的總量和單位量，來解決單位數未知的問題。例如有40顆糖果，每8顆分給一位小朋友，共可以分給幾位小朋友？

總量÷新單位量=新單位數。

2.        等分除

等分除問題是利用已知的總量和單位數，來解決單位量未知的問題。例如有40顆糖果，平分每8位小朋友，每人可以得到幾顆糖果？這種不同單位的除法，稱為等分除。

總量÷新單位數=新單位量。

四、運算結構

運算的結構可以區分為所要求的數為加(減、乘、除)數，被加(減、乘、除)數，或者和(差、積、商)數，也就是說以學童依題意順序列式時，未知數所在位置來區分運算的結構。

五、計數的原則

Gelman & Gallistel(l978)認為學童要學會計數，需要具備下列五個概念：

(一)固定順序原則（the stable-order principle）

固定順序原則是指用來計數集合體的數必需要遵循一定的順序，比如是1、2、3…，或者One, two, three,…。意即一致的唱數的順序是計數的必要條件。在固定順序的指導下，學童需要利用約定成俗的數字順序1,2,3,4,…來計數。無法模仿此一順序的學童便會因此重複數數或者漏數某些數。

(二)一對一原則（the one-one principle）

一對一原則是指被計數的每一個物件，都必須和所唱數的每一個數做一個標記，此標記可以是任意的，且每個物體只能被標示一個記號。例如被計數的集合中第一個物件被標為1，第二個物件，被標記為2，…。每一個物件只能和唱數的數一個對應一個，不能一個個物被唱數二次，也不能二個個物被唱數同一個數。這種一對一的原則，是一種真正地數出物件數目的基礎。

(三)基數原則（the cardinality principle）

基數原則是指在一個集合體中數到最後一個物件時的記號，即為該集合體的數量。例如一個集合有5個物件，它的最後一個個物被唱數到最後是5，就表示這個集合總共有5個物件。其實它有一個非常重要的概念，就是我們是用基數(1, 2, 3…)在唱數，但手指的卻是序數（指著第一個，第二個，第三個…物件），唱數到最後的數(第5個數，序數)就是基數 – 所有的個數(關鍵概念)。用圖形表示如下：

	○	○	○	○	○
	↑	↑	↑	↑	↑
	1	2	3	4	5

(四)抽象原則（the abstraction principle）

抽象原則指的是不管是任何物件，只要是可分開的物件都可以數，像有生命或無生命的具體實物，或者像事情、聲音、心靈等抽象的事情，只要可以分開，都可以數。

(五)順序無關原則（theorder-irrelevanceprinciple）

順序無關原則是指在點數物件時，每個物件被點到的順序，無論哪一個開始數起，都不會影響總數。例如，排成一排的玩具熊，無論從左邊數起，還是從右邊數起，或從其中任何一個開始數起，其總數都會相同。

六、位值概念

位值概念的意思是同一個數碼在數字的不同位置，它的意義不同。例如，十進位的數111，雖然數碼都是1，但是因為在數字的位置不同，所以每個1代表的意義不同。最左邊的1的位值是1×100，或者1個一百。中間的1的位值是1×10，或者1個十。最右邊的1的位值是1×1，或者1個一。

七、全數的化聚

化的意思是把大的單位化成較小的單位。聚的意思是把小的單位聚成大的單位。例如，10個1可以聚成1個十，10個十可以聚成1個百；而1個百可以化成10個十；一個十可以化成10個一。

八、算式填充題與線段圖
九、數概念的運思階段

82年部編本（甯自強，1992）將國小學童對數的運思方式，依序分為五個發展階段，這五個階段和童學學習四則則算有很大的關聯：

(一)序列性合成運思（sequential integrationoperations）

具備此運思的學童能將數個「1」合而為一，形成一個集聚單位（composite units，例如：10或16）。此階段的學童已具有數的保留概念，他們把「1」當做一個可複製並加以計數的聚集單位。例如，5 就是5個「1」。此階段的學童在加法的解題策略，多以手指或具體物模擬問題情境中的量，再全部數數。即以「1」為計數單位來進行解題。

(二)累進性合成運思（progressive integrationoperation）

具備此運思的學童可以使用一個集聚單位（例如：10或16）為基礎，繼續合成新的「1」，而形成新的集聚單位，例如以1（集聚單位）為起點，繼續合成3個「1」，而形成19（新的集聚單位）。

(三)部分─全體運思（part-whole operation）

具備此運思的學童能掌握「1」單位與以「1」為單位量所合成的集聚單位（例如：10或100）間的部分─全體關係，並且明顯地區分兩者的意義，所以在混合使用兩種以上的被計數單位（集聚單位）時，不會混淆其計數的意義，可以將數個集聚單位和數個「1」單位合而為一，形成新的集聚單位。例如，能區辨3個「十」與3個「一」這兩個3具有不同的意義，而將33（新的集聚單位）視為3個「十（集聚單位）」與3個「一」的合成結果。

(四)測量運思（measurement operation）

具備此運思的學童能掌握「1」與新的集聚單位（例如：10或100）間的部分─全體關係為基礎，進而能掌握新的集聚單位（例如：「十」）與以此集聚單位為單位量所合成的另一個新集聚單位（例如：10個「拾」，也就是「百」）間的部分─全體關係，也就是可以同時掌握兩個層級的部分─全體關係。

(五)比例運思（ratio operations）

具備此運思的學童能以兩個集聚單位間的關係為運思的起點，形成新的單位來描述此關係，也就是能掌握比值或有理數的概念，並且以其關係為運思的對象，蘊涵著對共變性質的掌握，被此關係聯絡的兩個集聚單位，如果產生等比例的變化，並不會改變此關係。

貳、分數（Fraction）和小數

一、分數的單位量

將一個連續量（例如，一個蛋糕）或一個離散量（例如，一盒雞蛋有10顆）平分成幾塊或幾堆，其中的一部份與原來的量相比較，就形成分數概念。此時，“原來的量”就稱為（分數的）單位量。例如：將一個蛋糕平分成8塊，這“一個蛋糕”就是分數的單位量。

二、單位分數的內容物

為了讓學童了解等值分數和約分、擴分等概念性知識。我們引入單位分數內容物的概念為單一個物（或份數）、單位分數的內容物為多個個物（或份數）、單位分數內容物為非整數個物（或份數）、不指出內容物的概念。

參、量與實測（Ｍeasurement）

量與實測也是國小的重要課程之一，量包括長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。其中長度、容量、角度、面積、體積屬於幾何（視覺）量，學生依據幾何經驗比較容易學習。重量除了需要身體的感覺，也需要使用測量工具。

除了時間之外，其他六種量的學習，大致上要經歷下列四個階段：初步概念與直接比較；間接比較與個別單位；常用單位的約定；常用單位的換算。

一、初步概念與直接比較
二、間接比較與個別單位
三、常用單位

肆、　van Hiele幾何認知層次

一、第０層次 – 視覺期(Visualization)
二、第一層次 – 分析期(Analysis)
三、第二層次 – 非形式演繹期(Informal Deduction)
四、第三層次 -- 形式演繹期(Formal Deduction)
五、第四層次 – 嚴密性(Rigor)或公理性(Axiomatic)

有學者區分為：從第一層次到第五層次。

伍、　統計（Statistic）

一、一維統計表和二維統計表
二、長條圖、直方圖、圓形圖、折線圖

陸、代數

一、交換律、結合律、分配律
二、加減互逆、乘除互逆